曲线C1:y=x^2与c2:y= --(x--2)^2,直线L与C1，c2都相切，求直线L的方程

直线L与C1和C2并不是在同一点相切，你是按在同一点相切做的
虽然斜率相等，但并不是由同一个x求出来的

设直线L与C1相切于(x0,x0^2)
C1:y=x^2=>y'=2x=>L为y=2x0(x-x0)+x0^2=2x0x-x0^2

设直线L与C2相切于(x1,-(x1-2)^2)
C2:y=-(x-2)^2=>y'=-2(x-2)=4-2x=>L为y=(4-2x1)(x-x1)-(x1-2)^2=(4-2x1)x+x1^2-4

则有4-2x1=2x0，-x0^2=x1^2-4
解得x0=2,x1=0或x0=0,x1=2
所以L为y=4x-4或y=0

你的解题方法错了，这样求斜率完全是错误的。正确的解法是：
设直线L的方程为 y=kx+b...........(1)
∵直线L与C1，c2都相切，
∴直线L与C1，c2都只有一个交点。
也就是说，方程kx+b=x²，kx+b=-（x-2）²分别只能有一个解。
用重根判别式△可分别得：k²+4b=0........(2)
(4-k)²-4（b+4）=0........(3)
解（2）和（3）联立的方程组，可得 k1=0，b1=0，或k2=4，b2=-4.
把这两组值代入（1），得 y=0，y=4x-4
故与C1，c2都相切的直线L有两条，它们分别是：y=0，y=4x-4.